Nato a Londra in una nota famiglia di artisti napoletani, Conrad Hector Raphael Carelli (1869–1956) era pronipote del pittore Settimio Carelli, seguace dello stile di Pompeo Battoni, in Puglia, Italia; nipote di Raffaele Carelli (1795–1864), pittore della Scuola di Posillipo; e figlio dell'artista Gabriele Carelli (1821–1900) che si trasferì dall'Italia a Londra, dove sposò una donna inglese e la regina Vittoria divenne una delle sue principali mecenati.
Conrad Carelli studiò a Parigi all'Académie Julian nel 1889, sotto la guida di William Bouguereau e Tony Robert-Fleury. La famiglia Carelli svernava a Mentone, in Costa Azzurra, e il padre di Conrad, Gabriele, vi morì nel 1900. Per un certo periodo Conrad visse ed espose a Mentone.
Gabriele Carelli viaggiò regolarmente e intensamente in Gran Bretagna e in Europa, in Nord Africa e in Medio Oriente. Conrad condivise la passione per i viaggi del padre e lavorò in una versione più libera dello stile paterno, realizzando acquerelli preziosi come gemme, che catturavano l'aspetto e le atmosfere del territorio e dell'architettura locale.
